问题重述
已知两个数的和为109，乘积为1992，求这两个数分别是多少。
解题思路
这类问题可以通过建立一元二次方程来解决。设两个数为a和b，根据题意有以下两个方程：
- a + b = 109
- a × b = 1992
解题步骤
根据一元二次方程的性质，如果a和b是方程的两个根，那么方程可以表示为： x² - (a + b)x + ab = 0
将已知数值代入： x² - 109x + 1992 = 0
使用求根公式解这个方程： x = [109 ± √(109² - 4×1×1992)] / 2
计算判别式： 109² = 11881
4×1×1992 = 7968 判别式 = 11881 - 7968 = 3913因此，方程的解为： x = [109 ± √3913] / 2
计算√3913的近似值： √3913 ≈ 62.55
因此，两个解为： x₁ ≈ (109 + 62.55) / 2 ≈ 85.775
x₂ ≈ (109 - 62.55) / 2 ≈ 23.225验证
验证这两个数的和与积： 85.775 + 23.225 ≈ 109
85.775 × 23.225 ≈ 1992.1（由于四舍五入存在微小误差）精确解
如果需要精确解，可以保留根号形式： a = (109 + √3913)/2
b = (109 - √3913)/2可能的整数解
检查是否有整数解： 尝试分解1992的因数对，寻找和为109的组合。
1992的因数分解： 1992 ÷ 2 = 996
996 ÷ 2 = 498 498 ÷ 2 = 249 249 ÷ 3 = 83 因此，1992 = 2³ × 3 × 83寻找因数对： 1 × 1992 → 1 + 1992 = 1993 ≠ 109
2 × 996 → 2 + 996 = 998 ≠ 109 3 × 664 → 3 + 664 = 667 ≠ 109 4 × 498 → 4 + 498 = 502 ≠ 109 6 × 332 → 6 + 332 = 338 ≠ 109 8 × 249 → 8 + 249 = 257 ≠ 109 12 × 166 → 12 + 166 = 178 ≠ 109 24 × 83 → 24 + 83 = 107 ≠ 109没有整数对满足条件，因此解为无理数。
结论
两个数分别为： a ≈ 85.775
b ≈ 23.225或精确表示为： a = (109 + √3913)/2
b = (109 - √3913)/2表格总结
| 项目 | 值 |
|---|---|
| 和 (a + b) | 109 |
| 积 (a × b) | 1992 |
| 近似解 | a ≈ 85.775, b ≈ 23.225 |
| 精确解 | a = (109 + √3913)/2, b = (109 - √3913)/2 |
